貝葉斯公式（發(fā)表于1763年）為：

這就是著(zhù)名的“貝葉斯定理”，一些文獻中把P(B[1])、P(B[2])稱(chēng)為基礎概率，P(A│B[1])為擊中率，P(A│B[2])為誤報率。

吸毒者檢測

貝葉斯定理在檢測吸毒者時(shí)很有用。假設一個(gè)常規的檢測結果的敏感度與可靠度均為99%，也就是說(shuō)，當被檢者吸毒時(shí)，每次檢測呈陽(yáng)性（+）的概率為99%。而被檢者不吸毒時(shí)，每次檢測呈陰性（-）的概率為99%。從檢測結果的概率來(lái)看，檢測結果是比較準確的，但是貝葉斯定理卻可以揭示一個(gè)潛在的問(wèn)題。假設某公司將對其全體雇員進(jìn)行一次鴉片吸食情況的檢測，已知0.5%的雇員吸毒。我們想知道，每位醫學(xué)檢測呈陽(yáng)性的雇員吸毒的概率有多高？令“D”為雇員吸毒事件，“N”為雇員不吸毒事件，“+”為檢測呈陽(yáng)性事件?？傻?/p>

• P(D)代表雇員吸毒的概率，不考慮其他情況，該值為0.005。因為公司的預先統計表明該公司的雇員中有0.5%的人吸食毒品，所以這個(gè)值就是D的先驗概率。

• P(N)代表雇員不吸毒的概率，顯然，該值為0.995，也就是1-P(D)。

• P(+|D)代表吸毒者陽(yáng)性檢出率，這是一個(gè)條件概率，由于陽(yáng)性檢測準確性是99%，因此該值為0.99。

• P(+|N)代表不吸毒者陽(yáng)性檢出率，也就是出錯檢測的概率，該值為0.01，因為對于不吸毒者，其檢測為陰性的概率為99%，因此，其被誤檢測成陽(yáng)性的概率為1-99%。

• P(+)代表不考慮其他因素的影響的陽(yáng)性檢出率。該值為0.0149或者1.49%。我們可以通過(guò)全概率公式計算得到：此概率 = 吸毒者陽(yáng)性檢出率（0.5% x 99% = 0.00495)+ 不吸毒者陽(yáng)性檢出率（99.5% x 1% = 0.00995)。P(+）=0.0149是檢測呈陽(yáng)性的先驗概率。用數學(xué)公式描述為：



• 根據上述描述，我們可以計算某人檢測呈陽(yáng)性時(shí)確實(shí)吸毒的條件概率P(D|+)：

P(D|+) = P(+|D)P(D)/(P(+|D)P(D)+P(+|N)P(N))=0.99 *0.005/0.0149=0.332215

盡管我們的檢測結果可靠性很高，但是只能得出如下結論：如果某人檢測呈陽(yáng)性，那么此人是吸毒的概率只有大 約33%，也就是說(shuō)此人不吸毒的可能性比較大。我們測試的條件（本例中指D，雇員吸毒）越難發(fā)生，發(fā)生誤判的可能性越大。

但如果讓此人再次復檢（相當于P(D)=33.2215%，為吸毒者概率，替換了原先的0.5%），再使用貝葉斯定理計算，將會(huì )得到此人吸毒的概率為98.01%。但這還不是貝葉斯定理最強的地方，如果讓此人再次復檢，再重復使用貝葉斯定理計算，會(huì )得到此人吸毒的概率為99.8%（99.9794951%）已經(jīng)超過(guò)了檢測的可靠度。

投資決策

貝葉斯定理用于投資決策分析是在已知相關(guān)項目B的資料，而缺乏論證項目A的直接資料時(shí)，通過(guò)對B項目的有關(guān)狀態(tài)及發(fā)生概率分析推導A項目的狀態(tài)及發(fā)生概率。如果我們用數學(xué)語(yǔ)言描繪，即當已知事件Bi的概率P（Bi）和事件Bi已發(fā)生條件下事件A的概率P（A│Bi），則可運用貝葉斯定理計算出在事件A發(fā)生條件下事件Bi的概率P（Bi│A）。按貝葉斯定理進(jìn)行投資決策的基本步驟是：

1 列出在已知項目B條件下項目A的發(fā)生概率，即將P（A│B）轉換為 P（B│A）；

2 繪制樹(shù)型圖；

3 求各狀態(tài)結點(diǎn)的期望收益值，并將結果填入樹(shù)型圖；

4 根據對樹(shù)型圖的分析，進(jìn)行投資項目決策。

其他應用

搜索巨人Google和Autonomy，一家出售信息恢復工具的公司，都使用了貝葉斯定理（Bayesian principles）為數據搜索提供近似的（但是技術(shù)上不確切）結果。研究人員還使用貝葉斯模型來(lái)判斷癥狀和疾病之間的相互關(guān)系，創(chuàng )建個(gè)人機器人，開(kāi)發(fā)能夠根據數據和經(jīng)驗來(lái)決定行動(dòng)的人工智能設備。